Image processing & Mean square displacement (MSD) part II

เนื้อหาหลักๆ ที่เป็นทฤษฎี ผมพยายามแปลมาจากหนังสือเรื่อง Random Walks in Biology เขียนโดย Howard C. Berg ขอกราบขอบพระคุณเป็นภาษาไทยไว้ ณ ที่นี้ด้วยครับ ส่วนของเนื้อหาที่เป็นสมการผมจะพยายามหาแหล่งอ้างอิงที่เป็นหนังสือ (ที่คิดว่าหาอ่านได้ในห้องสมุดคณะวิทยาศาสตร์ในมหาวิทยาลัยทั่วไป) และลิงค์บนอินเตอร์เน็ต อย่างไรก็ดีหากท่านผ่านเข้ามาเจอไซต์นี้แล้ว พบว่าเขียนด้วยความเข้าใจผิดหรือคลาดเคลื่อนตรงไหนขอได้รับความกรุณา แก้ให้ถูกต้องด้วยครับ ขอขอบคุณ

$\textbf{Microscopic theory}$

ลองพิจารณาในระบบเล็กๆดูก่อน พิจารณาที่โมเลกุลหรืออนุภาคเล็กๆ ซึ่งเคลื่อนที่อันเนื่องมาจากพลังงานความร้อน สมมติพิจารณาอนุภาคที่มีมวล $m$ มีความเร็วในแนวแกน $x$ เป็น $v_x$ ดังนั้นอนุภาคนี้จะมีพลังงานจลน์คือ $\frac{1}{2}mv_{x}^{2}$ โดยเฉลี่ยแล้วปริมาณนี้ (มีความผันผวนตลอดเวลา) สามารถเขียนได้เป็น

$(1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: <\frac{1}{2}mv_{x}^{2}>=\frac{1}{2}kT\: \: \: , k=Boltzmann\: constant $

$ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:, T=Absolute\:\:temperature$

จากความสัมพันธ์ในสมการที่ (1) เราสามารถเขียน root-mean-square velocity ได้เป็น

$ \frac{1}{2}m<v_{x}^{2}>=\frac{1}{2}kT $

$<v_{x}^{2}>^{1/2}=\left(\frac{kT}{m}\right)^{1/2} $

ยกตัวอย่างเช่น protein lysozyme มีมวลโมเลกุลเท่ากับ $ 1.4\times 10^{4}\:g $ ดังนั้นโปรตีนนี้จำนวน 1 โมเลกุลจะมีมวล $ m=2.3\times10^{-20}\:g $ ถ้าที่อุณหภูมิห้อง 300 K ดังนั้นค่า $<v_{x}^{2}>^{1/2}=13\:\:m/s $ ลองคิดดูเล่นๆนะครับว่า โปรตีนชนิดนี้ใช้เวลาเพียง 1 วินาที ในการข้ามถนน 4 เลน แต่ทว่าในความเป็นจริงมิได้เป็นอย่างนั้นเพราะโปรตีนอยู่ในสารละลายไม่ได้อยู่ในสุญญากาศ ดังนั้นต้องวิ่งไปชนกับโมเลกุลของน้ำก่อนอย่างแน่นอน

$\textbf{One-dimensional random walk}$

ต่อไปลองพิจารณา diffusion ในหนึ่งมิติกันดูบ้างพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาค (Random walker) ในแนวแกน $ x $ โดยที่ เมื่อเริ่มต้นที่เวลา $ t=0 $ อนุภาคอยู่ที่ตำแหน่ง $ x=0 $ มีเงื่อนไขข้อกำหนด สำหรับ random walk ดังนี้

กฏเกณฑ์สำหรับ 1-D Random Walk

1. แต่ละย่างก้าวของอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวา จะใช้เวลา $\tau$ เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $\pm v_{x}$ ดังนั้นจะได้ระยะกระจัดเป็น $\delta =\pm v_{x}\tau$ เพื่อให้ง่ายที่สุด
$\tau$ และ $\delta$ จะถูกกำหนดให้เป็นค่าคงที่แต่ในความเป็นจริงจะขึ้นกับ ขนาดของอนุภาค ลักษณะของเหลวที่เป็นตัวกลาง และอุณหภูมิ $T$

2. โอกาสที่อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปทาง ซ้ายหรือขวา มีโอกาสเท่ากันคือ $\frac{1}{2}$

3. อนุภาคเคลื่อนที่อย่างอิสระต่อกันไม่มีการชนระหว่างอนุภาคด้วยกัน ในทางปฏิบัติทำได้โดยการทำให้เจือจาง คือใส่อนุภาคจำนวนน้อยๆเมื่อเทียบกับปริมาตรของ ของเหลวตัวกลาง

    ต่อไปจะพิจารณากฏเกณฑ์ทั้ง 3 ข้อ เพื่อดูว่าเราจะได้อะไรบ้าง ก่อนอื่นสมมติว่ากำลังพิจารณาระบบ (ensemble) ที่มีอนุภาคจำนวน $N$ ตัว ให้ $x_{i}(n)$ เป็นอนุภาคตัวที่ $i$ ที่ก้าวเดินไปแล้ว $n$ ครั้ง
จากกฏข้อที่ 1 ตำแหน่งของอนุภาคที่เดินไปแล้ว $n$ ตรั้ง จะห่างจากตำแหน่งที่ $n-1$ เป็น $\pm \delta$ ซึ่งเขียนความหมายทางคณิตศาสตร์ได้เป็น

$(2) \; \; \; \; \; \; \; x_{i}(n)=x_{i}(n-1)\pm \delta\; ,\pm$ ได้มาจากกฏข้อที่ 2 และ 3

เราสามารถเขียนค่าเฉลี่ยของระยะกระจัด (Mean displacement) ของอนุภาคในระบบเมื่อก้าวเดินไปแล้ว $n$ ครั้ง ได้ว่า

$(3) \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}(n)\;,$ ของทุกอนุภาค

จากนั้นเขียน $x_{i}(n)$ ในเทอมของ $x_{i}(n-1)$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left \{ x_{i}(n-1)\pm\delta \right \}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}(n-1)$

$(4) \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=<x(n-1)>$

สมการที่ 4 บอกให้เราทราบว่า mean displacement ไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลง จากก้าวหนึ่งไปสู่อีกก้าวหนึ่ง (step to step) จากนั้นลองมาดูว่าอนุภาคจะแผ่กระจายออกไปอย่างไร ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าไร ซึ่งจะพิจารณาถึงค่า root-mean-square displacement
$<x^{2}(n)>^{1/2}$ เอาง่ายๆ ก็คือพิจารณาหาค่าขนาดของการกระจัดนั่นเอง เราจะเริ่มต้นที่หา $<x^{2}(n)>$ โดยการเขียน $x_{i}(n)$ ให้อยู่ในรูปของ $x_{i}(n-1)$

$\; \; \; \; \; \; \; \; x_{i}(n)=x_{i}(n-1)\pm \delta$

จากนั้นยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

$(5) \; \; \; \; \; \; \; x_{i}^{2}(n)=x_{i}^{2}(n-1)\pm 2\delta x_{i}(n-1)+\delta^{2}$

จากนั้นก็หาค่าเฉลี่ย ดังสมการด้านล่าง

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}(n)$

ดังนั้นหาค่าเฉลี่ยของ $(5)$ ก็จะได้ว่า

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left \{ x_{i}^{2}(n-1)\pm 2\delta x_{i}(n-1)+\delta ^{2} \right \}$

$(6) \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(n)>=<x^{2}(n-1)>+\delta^{2}$

โดยเฉลี่ยแล้วพจน์ที่สองก็จะหายไป ทีนี้ลองพิจารณาสมการที่ $(6)$ ที่จุดเริ่มต้นแน่นอนว่า อนุภาคอยู่ที่จุด $(0,0)$ ที่เวลา $t=0,\;x_{i}(0)=0$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(0)>=0$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(1)>=<x^{2}(0)>+\delta^{2}=\delta^{2}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(2)>=<x^{2}(1)>+\delta^{2}=2\delta^{2}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\vdots$

$(7) \; \; \; \;  <x^{2}(n)>=<x^{2}(n-1)>+\delta^{2}=n\delta^{2}$

จากนั้นเราจะเขียน $n$ ให้อยู่ในรูปของเวลา $t$ ซึ่งต้องย้อนกลับไปดูกฎข้อที่ 1 ก็จะทำให้เราได้ว่า $t=n\tau$ ดังนั้นสามารถเขียน  $n=\frac{t}{\tau}$

$\therefore \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(t)>=\frac{t}{\tau}\delta^{2}$

$(8) \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(t)>=\left (\frac{\delta^{2}}{\tau}  \right )t$

เขียนสมการที่ $(8)$ ใหม่เป็น

$(9) \; \; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}>=2Dt,\; D=diffusion\;coefficient$

$(10) \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(t)>^{1/2}=(2Dt)^{1/2}$

จะเห็นว่าอนุภาคจะกระจายตัวออกไปโดยขึ้นกับเวลา แต่เป็น $t^{1/2}$ เช่น ถ้าเราต้องให้อนุภาคเคลื่อนที่ไปไกล 2 เท่า ก็ต้องใช้เวลานานเป็น 4 เท่า ถ้าต้องการให้ไปไกลเป็น 10 เท่า ก็ต้องรอนานเป็น 100 เท่า อะไรอย่างนั้นนะครับ ดังนั้นเราจึงเห็นว่าหมึกที่หยดไปในน้ำจะใช้เวลานานขึ้นเมื่อเทียบกับการกระจายในช่วงต้นๆ ครับ 

$\textbf{References}$

- Howard C. Berg. "Random Walks in Biology", Princeton University Press, 1993, pp. 5-36.