Image processing & Mean square displacement (MSD) part III

          ในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการ ขั้นตอน เพื่อให้ได้มาซึ่ง MSD ของระบบที่เราสนใจ

รูปที่ 1: (ก) แสดงเส้นทางการเดินของ Random walker ในสองมิติ เส้นทึบแสดงการกระจัดที่เป็น single step และเส้นประแสดงการกระจัดที่เป็น double step,  (ข) กราฟระหว่าง time intervals กับ square displacements  และ (ค) แสดง linear fit เพื่อดูว่า diffusion exponent เป็นเท่าไรเพื่อนำไปแปลความหมายต่อไป (รูปที่1 ยกมาจาก Ref. [1] ขอกราบขอบพระคุณมา ณ ที่นี้)

           ในรูปที่1 (ก) นั้น ในทางเทคนิคก็จะเป็นภาพหรือวิดิโอที่ผู้ศึกษา ถ่ายบันทึกการเคลื่อนที่ของอนุภาค แล้วใช้โปรแกรม particle tracking มาช่วยหาตำแหน่งอนุภาคที่เราสนใจ ก่อนที่จะไปถึงกระบวนค้นหา MSD นั้นขอหยิบยกรายละเอียดทางเทคนิคของ MSD มากล่าวอีกครั้งหนึ่ง
          พิจารณารูปที่1 (ก) จากตำแหน่งที่ 1 ไปยังตำแหน่งที่  2 และถัดไปมีเวลาห่างกันเป็น $\Delta {t}$ ซึ่งเรียกว่า lag time จากนั้นลองหาค่า displacement ที่ lag time เท่ากับ $\Delta {t}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \;x_{1}=x(t_{1})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=x(t_{1}+\Delta{t}) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta x_{1}(\Delta t)=x_{2}-x_{1}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{1}=y(t_{1})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{2}=y(t_{1}+\Delta{t})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta y_{1}(\Delta t)=y_{2}-y_{1}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $


$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{i}=x(t_{i})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{i+1}=x(t_{i}+\Delta{t})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta x_{i}(\Delta t)=x_{i+1}-x_{i}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{i}=y(t_{i})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{i+1}=y(t_{i}+\Delta{t})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta y_{i}(\Delta t)=y_{i+1}-y_{i}$

ดังนั้นค่า square displacement ก็สามารถได้ว่า

สำหรับ single lag time $\Delta t$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2}=(\Delta x_{i}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta y_{i}(\Delta{t}))^{2}$

สำหรับ double lag time $\Delta t$

 $\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2}=(\Delta x_{i}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta y_{i}(\Delta{t}))^{2}$

 $\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$

สำหรับ n lag time $n\Delta t$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2}=(\Delta x_{i}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta y_{i}(\Delta{t}))^{2}$

และค่า mean square displacement ตลอดการเคลื่อนที่สำหรับ single lag time $\Delta{t}$ สามารถเขียนได้เป็น

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left \langle (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2} \right \rangle=\frac{1}{n}\left ( (\Delta r_{1}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta r_{2}(\Delta{t}))^{2}+\Delta r_{3}(\Delta{t}))^{2}+\cdots  \right )=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_{i}^{2}(\Delta t)$

          ในทำนองเดียวกันนะครับ ถ้าเป็น double step ในช่วงเวลา $2\Delta t$ หรือจะเป็น $3\Delta t$, $4\Delta t$ ซึ่งจะให้ได้ข้อมูล MSD เหมือนในรูปที่ 1 (ข)

ขอยกสมการในเอกสารการศึกษาของ Kanthang และคณะ [3]  ที่หาค่า MSD สำหรับตลอดเส้นทางการเคลื่อนที่ของโปนตีนชนิดหนึ่งซึ่งอยู่ในแบคทีเรียที่ชื่อว่า E. coli

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\left \langle (\Delta r)^2 \right \rangle=\frac{1}{N-1-n}\sum_{i=1}^{N-1-n}\left \{ \left [ x(i\Delta t+n\Delta t)-x(i\Delta t) \right ]^2 + \left [ y(i\Delta t+n\Delta t)-y(i\Delta t) \right ]^2 \right \}$

โดยที่
$N$ คือ the total number of frames, $n$ คือ the number of the time interval ซึ่งเกี่ยวข้องกับ lag time

และ $i$ คือ the positive integer



References

[1]  Jakob C. Schweizer, January 26, 2007. Practical Course: Single-Particle-Tracking. 
[2] M.J. Saxton, K. Jacobson, "SINGLE-PARTICLE TRACKING: Applications to Membrane Dynamics" Annu. Rev. Biophys. Biomol. Struct. 26, 373 (1997)
[3] Kanthang P, Ngamsaad W, Nuttavut N, Triampo W, Triampo D, Krittanai C, "Biophysical approach for studying the MinD protein dynamics and energy landscape: a novel use of the spot tracking technique" European Physical Journal-Applied Physics 2011, 55(1):11201.
 [4] Unai S, Kanthang P, Junthon U, Ngamsaad W, Triampo W, Modchang C, Krittanai C, "Quantitative analysis of time-series fluorescence microscopy using a spot tracking method : application to Min protein dynamics" Biologia 2009, 64(1):27-42.
[5] D. Sage, F.R. Neumann, F. Hediger, S.M. Gasser, M. Unser, "Automatic Tracking of Individual Fluorescence Particles: Application to the Study of Chromosome Dynamics," IEEE Transactions on Image Processing, vol. 14, no. 9, pp. 1372-1383, September 2005.
[6] ImageJ, free software, available online: http://rsbweb.nih.gov/ij/