Image processing & Mean square displacement (MSD) part III

          ในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการ ขั้นตอน เพื่อให้ได้มาซึ่ง MSD ของระบบที่เราสนใจ

รูปที่ 1: (ก) แสดงเส้นทางการเดินของ Random walker ในสองมิติ เส้นทึบแสดงการกระจัดที่เป็น single step และเส้นประแสดงการกระจัดที่เป็น double step,  (ข) กราฟระหว่าง time intervals กับ square displacements  และ (ค) แสดง linear fit เพื่อดูว่า diffusion exponent เป็นเท่าไรเพื่อนำไปแปลความหมายต่อไป (รูปที่1 ยกมาจาก Ref. [1] ขอกราบขอบพระคุณมา ณ ที่นี้)

           ในรูปที่1 (ก) นั้น ในทางเทคนิคก็จะเป็นภาพหรือวิดิโอที่ผู้ศึกษา ถ่ายบันทึกการเคลื่อนที่ของอนุภาค แล้วใช้โปรแกรม particle tracking มาช่วยหาตำแหน่งอนุภาคที่เราสนใจ ก่อนที่จะไปถึงกระบวนค้นหา MSD นั้นขอหยิบยกรายละเอียดทางเทคนิคของ MSD มากล่าวอีกครั้งหนึ่ง
          พิจารณารูปที่1 (ก) จากตำแหน่งที่ 1 ไปยังตำแหน่งที่  2 และถัดไปมีเวลาห่างกันเป็น $\Delta {t}$ ซึ่งเรียกว่า lag time จากนั้นลองหาค่า displacement ที่ lag time เท่ากับ $\Delta {t}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \;x_{1}=x(t_{1})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=x(t_{1}+\Delta{t}) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta x_{1}(\Delta t)=x_{2}-x_{1}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{1}=y(t_{1})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{2}=y(t_{1}+\Delta{t})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta y_{1}(\Delta t)=y_{2}-y_{1}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$


$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{i}=x(t_{i})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{i+1}=x(t_{i}+\Delta{t})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta x_{i}(\Delta t)=x_{i+1}-x_{i}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{i}=y(t_{i})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_{i+1}=y(t_{i}+\Delta{t})\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta y_{i}(\Delta t)=y_{i+1}-y_{i}$

ดังนั้นค่า square displacement ก็สามารถได้ว่า

สำหรับ single lag time $\Delta t$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2}=(\Delta x_{i}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta y_{i}(\Delta{t}))^{2}$

สำหรับ double lag time $\Delta t$

 $\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2}=(\Delta x_{i}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta y_{i}(\Delta{t}))^{2}$

 $\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$

สำหรับ n lag time $n\Delta t$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2}=(\Delta x_{i}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta y_{i}(\Delta{t}))^{2}$

และค่า mean square displacement ตลอดการเคลื่อนที่สำหรับ single lag time $\Delta{t}$ สามารถเขียนได้เป็น

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left \langle (\Delta r_{i}(\Delta{t}))^{2} \right \rangle=\frac{1}{n}\left ( (\Delta r_{1}(\Delta{t}))^{2}+(\Delta r_{2}(\Delta{t}))^{2}+\Delta r_{3}(\Delta{t}))^{2}+\cdots  \right )=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_{i}^{2}(\Delta t)$

          ในทำนองเดียวกันนะครับ ถ้าเป็น double step ในช่วงเวลา $2\Delta t$ หรือจะเป็น $3\Delta t$, $4\Delta t$ ซึ่งจะให้ได้ข้อมูล MSD เหมือนในรูปที่ 1 (ข)

ขอยกสมการในเอกสารการศึกษาของ Kanthang และคณะ [3]  ที่หาค่า MSD สำหรับตลอดเส้นทางการเคลื่อนที่ของโปนตีนชนิดหนึ่งซึ่งอยู่ในแบคทีเรียที่ชื่อว่า E. coli

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\left \langle (\Delta r)^2 \right \rangle=\frac{1}{N-1-n}\sum_{i=1}^{N-1-n}\left \{ \left [ x(i\Delta t+n\Delta t)-x(i\Delta t) \right ]^2 + \left [ y(i\Delta t+n\Delta t)-y(i\Delta t) \right ]^2 \right \}$

โดยที่
$N$ คือ the total number of frames, $n$ คือ the number of the time interval ซึ่งเกี่ยวข้องกับ lag time

และ $i$ คือ the positive integer



References

[1]  Jakob C. Schweizer, January 26, 2007. Practical Course: Single-Particle-Tracking. 
[2] M.J. Saxton, K. Jacobson, "SINGLE-PARTICLE TRACKING: Applications to Membrane Dynamics" Annu. Rev. Biophys. Biomol. Struct. 26, 373 (1997)
[3] Kanthang P, Ngamsaad W, Nuttavut N, Triampo W, Triampo D, Krittanai C, "Biophysical approach for studying the MinD protein dynamics and energy landscape: a novel use of the spot tracking technique" European Physical Journal-Applied Physics 2011, 55(1):11201.
 [4] Unai S, Kanthang P, Junthon U, Ngamsaad W, Triampo W, Modchang C, Krittanai C, "Quantitative analysis of time-series fluorescence microscopy using a spot tracking method : application to Min protein dynamics" Biologia 2009, 64(1):27-42.
[5] D. Sage, F.R. Neumann, F. Hediger, S.M. Gasser, M. Unser, "Automatic Tracking of Individual Fluorescence Particles: Application to the Study of Chromosome Dynamics," IEEE Transactions on Image Processing, vol. 14, no. 9, pp. 1372-1383, September 2005.
[6] ImageJ, free software, available online: http://rsbweb.nih.gov/ij/

Image processing & Mean square displacement (MSD) part II

เนื้อหาหลักๆ ที่เป็นทฤษฎี ผมพยายามแปลมาจากหนังสือเรื่อง Random Walks in Biology เขียนโดย Howard C. Berg ขอกราบขอบพระคุณเป็นภาษาไทยไว้ ณ ที่นี้ด้วยครับ ส่วนของเนื้อหาที่เป็นสมการผมจะพยายามหาแหล่งอ้างอิงที่เป็นหนังสือ (ที่คิดว่าหาอ่านได้ในห้องสมุดคณะวิทยาศาสตร์ในมหาวิทยาลัยทั่วไป) และลิงค์บนอินเตอร์เน็ต อย่างไรก็ดีหากท่านผ่านเข้ามาเจอไซต์นี้แล้ว พบว่าเขียนด้วยความเข้าใจผิดหรือคลาดเคลื่อนตรงไหนขอได้รับความกรุณา แก้ให้ถูกต้องด้วยครับ ขอขอบคุณ

$\textbf{Microscopic theory}$

ลองพิจารณาในระบบเล็กๆดูก่อน พิจารณาที่โมเลกุลหรืออนุภาคเล็กๆ ซึ่งเคลื่อนที่อันเนื่องมาจากพลังงานความร้อน สมมติพิจารณาอนุภาคที่มีมวล $m$ มีความเร็วในแนวแกน $x$ เป็น $v_x$ ดังนั้นอนุภาคนี้จะมีพลังงานจลน์คือ $\frac{1}{2}mv_{x}^{2}$ โดยเฉลี่ยแล้วปริมาณนี้ (มีความผันผวนตลอดเวลา) สามารถเขียนได้เป็น

$(1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: <\frac{1}{2}mv_{x}^{2}>=\frac{1}{2}kT\: \: \: , k=Boltzmann\: constant$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:, T=Absolute\:\:temperature$

จากความสัมพันธ์ในสมการที่ (1) เราสามารถเขียน root-mean-square velocity ได้เป็น

$\frac{1}{2}m<v_{x}^{2}>=\frac{1}{2}kT$

$<v_{x}^{2}>^{1/2}=\left(\frac{kT}{m}\right)^{1/2}$

ยกตัวอย่างเช่น protein lysozyme มีมวลโมเลกุลเท่ากับ $1.4\times 10^{4}\:g$ ดังนั้นโปรตีนนี้จำนวน 1 โมเลกุลจะมีมวล $m=2.3\times10^{-20}\:g$ ถ้าที่อุณหภูมิห้อง 300 K ดังนั้นค่า $<v_{x}^{2}>^{1/2}=13\:\:m/s$ ลองคิดดูเล่นๆนะครับว่า โปรตีนชนิดนี้ใช้เวลาเพียง 1 วินาที ในการข้ามถนน 4 เลน แต่ทว่าในความเป็นจริงมิได้เป็นอย่างนั้นเพราะโปรตีนอยู่ในสารละลายไม่ได้อยู่ในสุญญากาศ ดังนั้นต้องวิ่งไปชนกับโมเลกุลของน้ำก่อนอย่างแน่นอน

$\textbf{One-dimensional random walk}$

ต่อไปลองพิจารณา diffusion ในหนึ่งมิติกันดูบ้างพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาค (Random walker) ในแนวแกน $x$ โดยที่ เมื่อเริ่มต้นที่เวลา $t=0$ อนุภาคอยู่ที่ตำแหน่ง $x=0$ มีเงื่อนไขข้อกำหนด สำหรับ random walk ดังนี้

กฏเกณฑ์สำหรับ 1-D Random Walk

1. แต่ละย่างก้าวของอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวา จะใช้เวลา $\tau$ เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $\pm v_{x}$ ดังนั้นจะได้ระยะกระจัดเป็น $\delta =\pm v_{x}\tau$ เพื่อให้ง่ายที่สุด
$\tau$ และ $\delta$ จะถูกกำหนดให้เป็นค่าคงที่แต่ในความเป็นจริงจะขึ้นกับ ขนาดของอนุภาค ลักษณะของเหลวที่เป็นตัวกลาง และอุณหภูมิ $T$

2. โอกาสที่อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปทาง ซ้ายหรือขวา มีโอกาสเท่ากันคือ $\frac{1}{2}$

3. อนุภาคเคลื่อนที่อย่างอิสระต่อกันไม่มีการชนระหว่างอนุภาคด้วยกัน ในทางปฏิบัติทำได้โดยการทำให้เจือจาง คือใส่อนุภาคจำนวนน้อยๆเมื่อเทียบกับปริมาตรของ ของเหลวตัวกลาง

    ต่อไปจะพิจารณากฏเกณฑ์ทั้ง 3 ข้อ เพื่อดูว่าเราจะได้อะไรบ้าง ก่อนอื่นสมมติว่ากำลังพิจารณาระบบ (ensemble) ที่มีอนุภาคจำนวน $N$ ตัว ให้ $x_{i}(n)$ เป็นอนุภาคตัวที่ $i$ ที่ก้าวเดินไปแล้ว $n$ ครั้ง
จากกฏข้อที่ 1 ตำแหน่งของอนุภาคที่เดินไปแล้ว $n$ ตรั้ง จะห่างจากตำแหน่งที่ $n-1$ เป็น $\pm \delta$ ซึ่งเขียนความหมายทางคณิตศาสตร์ได้เป็น

$(2) \; \; \; \; \; \; \; x_{i}(n)=x_{i}(n-1)\pm \delta\; ,\pm$ ได้มาจากกฏข้อที่ 2 และ 3

เราสามารถเขียนค่าเฉลี่ยของระยะกระจัด (Mean displacement) ของอนุภาคในระบบเมื่อก้าวเดินไปแล้ว $n$ ครั้ง ได้ว่า

$(3) \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}(n)\;,$ ของทุกอนุภาค

จากนั้นเขียน $x_{i}(n)$ ในเทอมของ $x_{i}(n-1)$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left \{ x_{i}(n-1)\pm\delta \right \}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}(n-1)$

$(4) \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=<x(n-1)>$

สมการที่ 4 บอกให้เราทราบว่า mean displacement ไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลง จากก้าวหนึ่งไปสู่อีกก้าวหนึ่ง (step to step) จากนั้นลองมาดูว่าอนุภาคจะแผ่กระจายออกไปอย่างไร ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าไร ซึ่งจะพิจารณาถึงค่า root-mean-square displacement
$<x^{2}(n)>^{1/2}$ เอาง่ายๆ ก็คือพิจารณาหาค่าขนาดของการกระจัดนั่นเอง เราจะเริ่มต้นที่หา $<x^{2}(n)>$ โดยการเขียน $x_{i}(n)$ ให้อยู่ในรูปของ $x_{i}(n-1)$

$\; \; \; \; \; \; \; \; x_{i}(n)=x_{i}(n-1)\pm \delta$

จากนั้นยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

$(5) \; \; \; \; \; \; \; x_{i}^{2}(n)=x_{i}^{2}(n-1)\pm 2\delta x_{i}(n-1)+\delta^{2}$

จากนั้นก็หาค่าเฉลี่ย ดังสมการด้านล่าง

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}(n)$

ดังนั้นหาค่าเฉลี่ยของ $(5)$ ก็จะได้ว่า

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(n)>=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left \{ x_{i}^{2}(n-1)\pm 2\delta x_{i}(n-1)+\delta ^{2} \right \}$

$(6) \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(n)>=<x^{2}(n-1)>+\delta^{2}$

โดยเฉลี่ยแล้วพจน์ที่สองก็จะหายไป ทีนี้ลองพิจารณาสมการที่ $(6)$ ที่จุดเริ่มต้นแน่นอนว่า อนุภาคอยู่ที่จุด $(0,0)$ ที่เวลา $t=0,\;x_{i}(0)=0$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(0)>=0$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(1)>=<x^{2}(0)>+\delta^{2}=\delta^{2}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(2)>=<x^{2}(1)>+\delta^{2}=2\delta^{2}$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\vdots$

$(7) \; \; \; \;  <x^{2}(n)>=<x^{2}(n-1)>+\delta^{2}=n\delta^{2}$

จากนั้นเราจะเขียน $n$ ให้อยู่ในรูปของเวลา $t$ ซึ่งต้องย้อนกลับไปดูกฎข้อที่ 1 ก็จะทำให้เราได้ว่า $t=n\tau$ ดังนั้นสามารถเขียน  $n=\frac{t}{\tau}$

$\therefore \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(t)>=\frac{t}{\tau}\delta^{2}$

$(8) \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(t)>=\left (\frac{\delta^{2}}{\tau}  \right )t$

เขียนสมการที่ $(8)$ ใหม่เป็น

$(9) \; \; \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}>=2Dt,\; D=diffusion\;coefficient$

$(10) \; \; \; \; \; \; \; <x^{2}(t)>^{1/2}=(2Dt)^{1/2}$

จะเห็นว่าอนุภาคจะกระจายตัวออกไปโดยขึ้นกับเวลา แต่เป็น $t^{1/2}$ เช่น ถ้าเราต้องให้อนุภาคเคลื่อนที่ไปไกล 2 เท่า ก็ต้องใช้เวลานานเป็น 4 เท่า ถ้าต้องการให้ไปไกลเป็น 10 เท่า ก็ต้องรอนานเป็น 100 เท่า อะไรอย่างนั้นนะครับ ดังนั้นเราจึงเห็นว่าหมึกที่หยดไปในน้ำจะใช้เวลานานขึ้นเมื่อเทียบกับการกระจายในช่วงต้นๆ ครับ 

$\textbf{References}$

- Howard C. Berg. "Random Walks in Biology", Princeton University Press, 1993, pp. 5-36.